Question

19．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为△ABC的内角平分线，CF为△ABC的外角平分线，交BA的延长线于点F，连接DF交AC于E，连接BE，求证：BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 过F作FN⊥AD于N，FR⊥AC于R，FT⊥BC于T，过E作EM⊥AD于M，EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，推出△AFN≌△AFR，根据全等三角形的性质得到FN=FR，由CF为△ABC的外角平分线，得到FR=FT，证得DF平分∠ADC，然后根据角平分线的性质即可得到结论．

解答 解：过F作FN⊥AD于N，FR⊥AC于R，FT⊥BC于T，过E作EM⊥AD于M，EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，
∵∠BAC=120°，AD为△ABC的内角平分线，
∴∠FAN=∠BAD=60°，∠RAF=60°，
在△AFN与△AFR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠FRA=90°}\\{∠FAN=∠FAG=60°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFN≌△AFR，
∴FN=FR，
∵CF为△ABC的外角平分线，
∴FR=FT，
∴NF=FT，
∴DF平分∠ADC，
∴ME=EH，
∵∠DAC=∠CAF=60°，
∴EG=EM，
∴EG=EH，
∴BE平分∠ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．