Question

4．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC，若∠BAC=60°，求∠B．

Answer 1

分析 根据角平分线的轴对称性，在AB上堆取AE=AC，即可得到△AED≌△ACD，从而DE=DC，∠ADE=∠ADC，再作EF∥AD交BD于F，由平行线的性质可推出F为BD中点，从而E为AB中点．由于∠BAC=60°，则三角形AEC是等边三角形，于是BE=EC，然后∠B的度数一目了然．

解答 解：在AB上堆取AE=AC，连接DE、EC，如图，

易得△AED≌△ACD，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC，
作EF∥AD交BC于F，
∴∠EFD=∠ADC，∠FED=∠ADE，
∴∠DFE=∠DEF，
即DF=DE=DC，
∵BD=2DC，
∴BF=FD，
∵EF∥AD，BF=FD，
∴BE=AE，
∵∠BAC=60°
∴△AEC是等边三角形，
∴BE=EC，
∴∠B=∠ECB，
∵∠B+∠ECB=∠AEC=60°，
∴2∠B=60°，
∴∠B=30°．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识点，题虽小，难度却较大．根据角平分线在角两边截取线段相等，进而构造全等三角形，是常用辅助线，要熟练掌握．