Question

9．如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以$4\sqrt{2}$为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作OF⊥BC于F，根据垂径定理得到BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，如图，连结OB，利用勾股定理得OF=2$\sqrt{7}$，再利用圆周角定理可判断点A在BC所对应的一段弧上一点，于是可判断当点A在BC的垂直平分线上时OA最大，此时AF⊥BC，AB=AC，作BD⊥AC于D，如图，设BD=x，则∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$x，AC=$\sqrt{2}$x，在Rt△BDC中利用勾股定理得到x²=4（2+$\sqrt{2}$），再利用面积法可计算出AF=2$\sqrt{2}$+2，所以AO=AF+OF=2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

解答 解：作OF⊥BC于F，则BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=2，如图，连结OB，
在Rt△OBF中，OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵∠BAC=45°，BC=4，
∴点A在BC所对应的一段弧上一点，
∴当点A在BC的垂直平分线上时OA最大，
此时AF⊥BC，AB=AC，
作BD⊥AC于D，如图，设BD=x，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$x，
∴AC=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BDC中，∵BC²=CD²+BD²，
∴4²=（$\sqrt{2}$x-x）²+x²，即x²=4（2+$\sqrt{2}$），
∵$\frac{1}{2}$AF•BC=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴AF=$\frac{x•\sqrt{2}x}{4}$=2$\sqrt{2}$+2，
∴AO=AF+OF=2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$，
即线段OA的最大值为2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．
故答案为2$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．解决本题的关键是确定OA垂直平分BC时OA最大．