Question

14．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H．若BC=6，AH=4，则⊙O的半径为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作直径CM，连接MB、MA，做OF⊥BC于F，推出∠MAC=∠MBC=90°，求出平行四边形MBHA，求出BM，求出OF，根据垂径定理求出CF，根据勾股定理求出OC即可．

解答 解：作直径CM，连接MB、MA，作OF⊥BC于F，
∵CM为直径，
∴∠MBC=∠MAC=90°，
又∵∠ADC=∠BEC=90°
∴∠MBC=∠ADC，∠MAC=∠BEC，
∴MB∥AD，MA∥BE，
∴四边形MBHA为平行四边形，
∴MB=AH=4，
又∵OF⊥BC，OF过O，
∴根据垂径定理：CF=FB=$\frac{1}{2}$BC=3；
又∵CO=OM，
∴OF=$\frac{1}{2}$MB=2，
∴在Rt△COF中，OC²=OF²+CF²=2²+3²=13，
∴OC=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是平行四边形的判定与性质，涉及到圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行四边形的性质和判定等知识点的综合应用．