Question

3．己知：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点P．求证：
（1）PE=AB；
（2）PE²=BE•BP．

Answer 1

分析 （1）根据正五边形的性质知∠EBA=∠BEA=36°、△EAB≌△CBA，可得∠CAB=∠EBA=36°，进而知∠EPA=∠EAP=72°，可得PE=AE=AB；
（2）由△AEB、△PAB都是底角为36°的等腰三角形知△AEB∽△BAC，根据对应边成比例结合（1）中结论可得．

解答 证明：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=EA，∠EAB=108°，
∴∠EBA=∠BEA=36°
在△EAB和△CBA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EA=BC}\\{∠EAB=∠CBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△CBA（SAS）
∴∠CAB=∠EBA=36°
∴∠EPA=∠EAP=72°
∴PE=AE=AB，
（2）∵△AEB、△PAB都是底角为36°的等腰三角形，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BP}{AB}$，
∴AB²=BE•BP，
又∵PE=AB，
∴PE²=AB²=BE•BP．

点评 本题考查了正五边形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质，对正多边形性质的掌握是关键，解答本题注意已经证明的结论，对下一问题的作用．