Question

18．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若DE=1，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，设⊙O的半径为r，则ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，由于得到EN=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．

解答 （1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，
∴AB⊥CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°．
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，
设⊙O的半径为r，
∴ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EN=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$．
在Rt△ONE与Rt△BEO中，
OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，
即（$\frac{1}{2}$r）²+（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）²=r²+（$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$）²，
解得r₁=$\sqrt{3}$，r₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（不合题意舍去）．
故圆O的半径为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．