Question

19．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．

解答 解：如图所示，当EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH与正方形对角线AD重合时，AE最小；
∵正方形ABCD的边长为1；
∴AC=$\sqrt{2}$，
∴EH=1，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
则AE的最小值为AE=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小．