Question

9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A₂B₂C₂C₁，按这样的规律下去，第2012个正方形的面积为（　　）

• A． 5•（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁰
• B． 5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²
• C． 5•（$\frac{9}{4}$）²⁰¹²
• D． 5•（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁰

Answer 1

分析 与正方形的性质推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出对应边成比例求出AB，BA₁，求出边长A₁C，求出第二个正方形的面积；同理求出第3个、第4个正方形的面积，得出规律，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD，
∴∠DAB=90°，即∠DAO+∠BAA₁=90°，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠BAA₁=∠AOD，
∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{{A}_{1}B}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
根据OA=1，OD=2，利用勾股定理得：AB=AD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴A₁B=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即A₁C=A₁B+BC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴第二个正方形A₁CC₁B₁面积为（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）²=5•（$\frac{3}{2}$）²，
同理得到第三个正方形A₂B₂C₂C₁面积为[（$\frac{3}{2}$）²×$\sqrt{5}$]²=5•[（$\frac{3}{2}$）²]²，
依此类推，第2012个正方形的面积为[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹¹×$\sqrt{5}$]²=5•（$\frac{3}{2}$）⁴⁰²²；
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．