Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若∠A=35°，求$\widehat{DG}$的度数．

Answer 1

分析 （1）连接DF，由直角三角形斜边上的中线性质得出BD=CD=AD，由圆周角定理可知DF⊥BC，证出DE∥BC，证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，即可得出结论；
（2）连接OG，由等腰三角形的性质得出∠DCA═∠A=35°，由三角形的外角性质得出∠ODG=∠A+∠DCA=70°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOG=40°，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接DF，如图1所示：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=CD=AD，
又∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DEA=∠ACB，DF⊥BC，
∴DE∥BC，BF=CF，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：连接OG，如图2所示：
∵CD=AD，
∴∠DCA═∠A=35°，
∴∠ODG=∠A+∠DCA=70°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=70°，
∴∠DOG=180°-2×70°=40°，
即$\widehat{DG}$的度数为40°．

点评 本题考查了平行四边形的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与圆周角定理，证出DE=BF是解决问题（1）的关键．