Question

4．已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将$\widehat{AC}$折叠后与AB相交于点D，如果AD=3DB，那么AC的长为4$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质和圆周角定理可得∠ABC=∠ACD+∠CAD，根据三角形的外角的性质可得∠BDC=∠ACD+∠CAD，从而得到∠ABC=∠BDC，根据等角对等边可得BC=CD，过点C作CE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，然后利用△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列式计算即可．

解答 解：连接CD、CB，作CE⊥AB于E，
∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，
∴∠ABC=∠ACD+∠CAD，
在△BCD中，∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠ABC=∠BDC，
∴BC=CD，又CE⊥AB，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD=3DB，AD+BD=16，
∴BD=4，AD=12，
∴AE=AD+DE=12+2=14，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CAD=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
又∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴CE=2$\sqrt{7}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{14}$，
故答案为：4$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．