Question

9．如图1，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针旋转30°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）求点F的坐标，并判断点F是否在线段BC上；
（2）如图2，将矩形FEGH沿y轴向下平移m个单位，
①当四边形OFCE是平行四边形使，则m的值是多少？此时过点O作直线l将?OFCE分为面积比为1：3的两部分，求直线l的解析式；
②设矩形EFGH沿y轴向下平移过程中与矩形OABC重叠部分面积为S，写出S关于m的解析式，并求当S：S_矩形ABCO=$\sqrt{3}$：6时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得；
（2）①分两种情况，情形一：取CF的中点D1，作直线OD1根据${S}_{△OF{D}_{1}}$：${S}_{四边形O{D}_{1}CE}$=1：3即可求出点D₁坐标，求出直线OD₁；情形二：取EC中点D₂，作直线OD₂，则${S}_{△OE{D}_{2}}$：${S}_{四边形OFC{D}_{2}}$=1：3，先求出点D₂坐标即可求出直线OD₂．
②由OF∥E′F′得$\frac{CD}{CO}=\frac{CF′}{CF}$即$\frac{CD}{2}=\frac{2\sqrt{3}-m}{2\sqrt{3}}$，求出CD、CF′，列出方程即可解决．

解答 解：（1）如图1，过点F作FM⊥OA，垂足为M
∵矩形OABC，点A（0，4），C（2，0），
∴B（2，4），
∴OF=OA=4，∠MOF=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$OF=2，OM=2$\sqrt{3}$，
∴F（2，2$\sqrt{3}$），
∴F在线段BC上；
（2）如图2中，①四边形OFCE是平行四边形，OE=FC，
∴可得：m=2$\sqrt{3}$-m，
解得：m=$\sqrt{3}$，
分两种情况，情形一：取CF的中点D1，作直线OD1，
则${S}_{△OF{D}_{1}}$：${S}_{四边形O{D}_{1}CE}$=1：3
∵$FC=\sqrt{3}$，C（2，0），
∴D₁（2，$\sqrt{3}$），
设直线OD₁的解析式为y=kx，把D₁（2，$\sqrt{3}$）代入得k=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直线OD₁为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．
情形二：取EC中点D₂，作直线OD₂，则${S}_{△OE{D}_{2}}$：${S}_{四边形OFC{D}_{2}}$=1：3，
设平行四边形的对角线交于点O₁，
∵OC₁=$\frac{1}{2}$OC=1，连接D₂O₁
∴O₁D₂=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，D₂O₁∥OE，
∴D₂O₁⊥OC，
∴D₂（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），设直线OD₂为y=k′x，把D₂代入得到k′=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线OD₂为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
综上所述：所求直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x或y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
②∵OF∥E′F′，
∴$\frac{CD}{CO}=\frac{CF′}{CF}$，
∴$\frac{CD}{2}=\frac{2\sqrt{3}-m}{2\sqrt{3}}$，
CD=$\frac{2\sqrt{3}-m}{\sqrt{3}}$，CF′=2$\sqrt{3}$-m，
∴S_重合=$\frac{（2\sqrt{3}-m）^{2}}{2\sqrt{3}}$（0$≤m≤2\sqrt{3}$），
∵矩形OABC的面积为8，根据S_重合：S_矩形=$\sqrt{3}$：6得到S_重合=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{（2\sqrt{3}-m）^{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得m=2（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）或【2（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）不合题意舍弃】，
∴m=2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质、平移的性质等知识，考查学生运用性质进行推理的能力，解题的关键是通过特殊点“中点”的性质，解决了面积比的问题．