Question

20．如图所示，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段ME、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 首先依据SAS证明△ADC≌△BEC，全等三角形的性质可知∠CEB=∠CDA=135°，BE=AD，由∠AEB=∠CEB-∠CED可求得∠AEB的度数，由等腰三角形三线合一的性质可知DM=ME，即DE=2ME，最后依据AE=AD+DE可得到ME、AE、BE之间的数量关系．

解答 解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠CDE=∠CED=45°．
∴∠ADC=135°．
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠ECB+DCB=90°，
∴∠ACD=∠ECB．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CEB=∠CDA=135°，AD=BE．
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=135°-45°=90°．
∵CD=CE，CM⊥AE，
∴DM=EM．
∴DE=2EM．
∵AD+DE=AE，
∴BE+2EM=AE．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质，证得△ACD≌△BCE，DE=2EM是解题的关键．