Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P为矩形内一点，PE为点P到直线BC的距离，则PA+PD+PE的最小值为6+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如以AP、AE为边向左边作等边三角形△APN，△AEF，延长EP交AD于H，由△FAN≌△EAP，得到PE=FN，所以PA+PD+PE=PD+PN+FN，所以当F、N、P、D共线时，PA+PN+PD最短，分别求出DN、FN即可解决问题．

解答 解：如图以AP、AE为边向左边作等边三角形△APN，△AEF，延长EP交AD于H，
∵∠FAE=∠NAP，
∴∠FAN=∠EAP，
在△FAN和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠FAN=∠EAP}\\{AN=AP}\end{array}\right.$，
∴△FAN≌△EAP，
∴PE=FN，
∴PA+PD+PE=PD+PN+FN，
∴当F、N、P、D共线时，PA+PN+PD最短，此时∠APD=∠ANF=∠APE=∠DPE=120°，∠PAD=∠PDA=30°，
在RT△ADN中，∵AD=8，∠ADN=30°，
∴AN=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，DN=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，PH=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PE=6-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴PA+PD+PE的最小值=DN+FN=DN+PE=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$+6-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=6+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质、等边三角形的性质，解题关键添加辅助线构造全等三角形把线段PD、PA、PE拼在一起，共线时线段最短，题目难度比较大．