Question

5．如图抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，连接AB、AC，AB=2$\sqrt{13}$，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，S_△ABC=20．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点D为x轴上方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，交线段AB于点F．当FD=FE时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为射线AE上一动点，连接CP交y轴于点M，连接ME，并过点M作AE的平行线，过点E作ME的垂线，这两条直线相交于点N．当△MEN中有一个角的正切值为$\frac{1}{2}$时，求出点P坐标，并判断点P是否在（1）中的抛物线上．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B、C坐标，然后用待定系数法求解析式．
（2）设点E（m，O），求出直线AB为y=-$\frac{2}{3}$x+4，根据DF=EF列出方程解决．
（3）设点M（0，b），求得直线ME为y=-$\frac{b}{4}$x+b，直线EN为y=$\frac{4}{b}$x-$\frac{16}{b}$，解方程组得到点N坐标，在图1中利用△MOE∽△EGM得$\frac{ME}{NE}=\frac{OE}{GN}=\frac{1}{2}$，列出方程求出b，再求出直线CP与直线CE的交点即可，在图2中，利用△MOE∽△EGN得$\frac{ME}{EN}=\frac{OE}{GN}$=2，列出方程求出b，再求出直线CP与直线CE的交点即可．

解答 解：（1）在RT△AOB中，∵AB=2$\sqrt{13}$，tan∠ABC=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{2}{3}$，设AO=2k，OB=3k，则（2k）²+（3k）²=（2$\sqrt{13}$）²，K=2（或-2舍弃），
∴AO=4，OB=6，
∵S_△ABC=20．
∴$\frac{1}{2}$•BC•AO=10，
∴BC=10，
∴点C（-4，0），点A（0，4），点B（6，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{3}$x+4．
（2）如图1中，设点E（m，O），直线AB为y=-$\frac{2}{3}$x+4，
∵DF=EF，
∴-$\frac{1}{6}$m²+$\frac{1}{3}$m+4-（-$\frac{2}{3}$m+4）=-$\frac{2}{3}$m+4，
∴m=4（或0舍弃），
∴点E（4，0）．
（3）①如图1中，设点M（0，b），∵直线AE为y=-x+4，MN∥AE，
∴直线MN为y=-x+b，直线ME为y=-$\frac{b}{4}$x+b，
∵EN⊥ME，
∴直线EN为y=$\frac{4}{b}$x-$\frac{16}{b}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{4}{b}x-\frac{16}{b}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{b}^{2}+16}{b+4}}\\{y=\frac{4b-16}{b+4}}\end{array}\right.$，
∴点N坐标（$\frac{{b}^{2}+16}{b+4}$，$\frac{4b-16}{b+4}$），作NG⊥OB垂足为G，由图象可知EN＞EM，
∴tan∠EMN=$\frac{EN}{EM}$=2，
∵∠OEM+∠NEG=90°，∠NEG+∠ENG=90°，
∴∠OEM=∠ENG，∵∠MOE=∠NGE=90°，
∴△MOE∽△EGM，
∴$\frac{ME}{NE}=\frac{OE}{GN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{4b-16}{b+4}$=-8，
∴b=-$\frac{4}{3}$，
∴点M（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直线CM为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（8，-4）．
②如图2中，作NG⊥OB垂足为G，由图象可知EN＜EM，设点M（0，b）
∴tan∠MNE=2，
∴$\frac{EM}{EN}$=2，
由△MOE∽△EGN得到$\frac{ME}{EN}=\frac{OE}{GN}$=2
∴$\frac{4b-16}{b+4}=-2$，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴直线CM为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（2，2）．
综上所述点P坐标为（2，2）或（8，-4）．

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是设未知数求出相应的点的坐标，利用相似三角形的性质列出方程解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．