Question

8．在△ABC中，∠BAC=90°，作∠DAP=∠ABC=45°，过点B作BD⊥AD，垂足为D，BD交直线AP于P．
判断线段BD、DP与CP之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 结论：PC-PD=BD，作AM⊥PC于M，先证明A、P、B、C四点共圆，得到∠BPC=∠BAC=90°，再证明四边形AMPD是正方形，△ADB≌△AMC得BD=CM，由此即可证明．

解答 结论：PC-DP=BD，理由如下，
证明：作AM⊥PC于M，
∵∠BAC=90°，∠DAP=∠ABC=45°
∴∠ABC=∠ACB=∠APD=45°，AB=AC，
∴A、P、B、C四点共圆，
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∵∠AMP=∠MPD=∠ADP=90°，
∴四边形ANPD是矩形，
∵∠ADP=90°，∠APD=45°，
∴∠DAP=∠APD=45°，
∴AD=DP，
∴四边形AMPD是正方形，
∴AD=DP=PM=AM，
在RT△ADB和RT△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AMC，
∴BD=CM，
∴PC-PD=PC-PM=CM=BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定和性质、正方形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．