Question

8．如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=$\frac{7}{8}$，AD=6，则AC=8．

Answer 1

分析 作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E、F，由△BFD∽△CED得$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{DF}{DE}$=3，因为AF=FD=3，可以求出DE=1，AE=7，再在RT△AEC利用cos∠EAC求出AC即可．

解答 解：作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E、F．
∵∠BFE=∠CEA=90°，
∴BF∥CE，
∴△BFD∽△CED，
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{DF}{DE}$=3，
∵BA=BD，BF⊥AD，
∴AF=DF=3，DE=1，
在RT△AEC中，∵∠AEC=90°，AE=7，cos∠EAC=$\frac{7}{8}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{7}{8}$，
∴AC=8．
故答案为8．

点评 本题考查相似三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键是由三角形相似得出边的比例关系，求出相应的线段，记住等腰三角形的高是常用辅助线．