【题目】如图,在平面直角坐标中,点O是坐标原点,一次函数y1=﹣x+4与反比例函数y2=(x>0)的图象交于A(1,m)、B(n,1)两点.
(1)求k、m、n的值.
(2)根据图象写出当y1>y2时,x的取值范围.
(3)若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M,则求出△AON的面积.
【答案】(1)k=3, m=3,n=3,;(2)1<x<3;(3)6
【解析】
(1)把A(1,m)、B(n,1)两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值,再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值;
(2)根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案;
(3)先根据一次函数的解析式求出N的坐标,再利用三角形面积公式即可求出△AON的面积.
解:(1)把A(1,m)、B(n,1)两点的坐标代入y1=﹣x+4,
得m=﹣1+4=3,﹣n+4=1,n=3,
则A(1,3)、B(3,1).
把B(3,1)代入y2=,
得k=3×1=3;
(2)∵A(1,3)、B(3,1),
∴由函数图象可知,y1>y2时,x的取值范围是1<x<3;
(3)∵一次函数y1=﹣x+4的图象与x轴交于点N,
∴N(4,0),ON=4,
∵A(1,3),
∴△AON的面积=×4×3=6.
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【题目】阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.
解:设 x﹣2=y,则原方程化为:3y2+7y+4=0.
∵a=3,b=7,c=4,∴b2﹣4ac=72﹣4×3×4=1.
∴y= =
.∴y1=﹣1,y2=﹣
.
当 y=﹣1 时,x﹣2=﹣1,∴x=1;
当 y=﹣时,x﹣2=﹣
,∴x=
.
∴原方程的解为:x1=1,x2=.
(1)请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;
(2)若(a2+b2)(a2+b2﹣2)=3,求代数式 a2+b2的值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则△BDC的周长为( )
A. 8 B. 9 C. 5+ D. 5+
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.
(1)b =_________,c =_________,点B的坐标为_____________;(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
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【题目】(1)观察猜想
如图(1),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是_____;
(2)拓展探究
将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
(3)解决问题
若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,直接写出AF的值.
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【题目】如图1所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于
,
两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)设点和
是反比例函数
图象上两点,若
,求
的值;
(3)若M(x1,y1)和N(x2,y2)两点在直线AB上,如图2所示,过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F,已知﹣3<x1<0,x2>1,请探究当x1、x2满足什么关系时,MN∥EF.
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【题目】如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C、D 在⊙O 上,过 D 点作 PF∥AC交⊙O 于 F,交 AB 于点 E,∠BPF=∠ADC
(1)求证:AEEB=DEEF.
(2)求证:BP 是⊙O 的切线:
(3)当的半径为,AC=2,BE=1 时,求 BP 的长,
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【题目】如图,平面直角坐标系中,,
为
轴正半轴上一点,连接
,在第一象限作
,
,过点
作直线
轴于
,直线
与直线
交于点
,且
,则直线
解析式为____________.
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【题目】如图,已知AC=BC,点D是BC上一点,∠ADE=∠C.
(1)如图1,若∠C=90°,∠DBE=135°.
①求证:∠EDB=∠CAD;
②求证:DA=DE;
(2)如图2,若∠C=40°,DA=DE,求∠DBE的度数;
(3)如图3,请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时,总有DA=DE成立.
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