【题目】如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C、D 在⊙O 上,过 D 点作 PF∥AC交⊙O 于 F,交 AB 于点 E,∠BPF=∠ADC
(1)求证:AEEB=DEEF.
(2)求证:BP 是⊙O 的切线:
(3)当的半径为,AC=2,BE=1 时,求 BP 的长,
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.
【解析】
试题(1)根据圆周角定理得出∠ACB=90°,∠CAB+∠ABC=90°,进而得出∠PEB+∠BPF=90°,从而证得PB是O的切线;
(2)证得△AEF∽△DEB,从而得出,即可证得AEEB=DEEF;
(3)先根据勾股定理求得BC的长,进而根据△ABC∽△EPB,对应边成比例即可求得BP的长.
试题解析:(1)证明:连结BC,
∵AB是O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,
又∵∠ABC=∠ADC,∠ADC=∠BPF,
∵PF∥AC,
∴∠CAB=∠PEB,
∴∠PEB+∠BPF=90°,
∴PB⊥AB,
∴PB是O的切线;
(2)连结AF、BD.
在△AEF和△DEB中,
∠AEF=∠DEB.∠AFE=∠DBE,
∴△AEF∽△DEB,
∴,即AEEB=DEEF;
(3)在Rt△ABC中,BC2=(2)2-22
∴BC=4,
在Rt△ABC和Rt△EPB中,
∠ABC=∠ADC=∠BPF,
∴△ABC∽△EPB,
∴,
∴BP==2.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论:①abc>0;②当x>2时,y>0;③3a+c>0;④3a+b>0.其中正确的结论有( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
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【题目】如图,一个二次函数的图象经过点A、C、B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(3,0),点C在y轴的正半轴上,且AB=OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式,并求出该函数的最大值.
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【题目】阅读对学生的成长有着深远的影响,某中学为了解学生每周课余阅读的时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表.
组别 | 时间(小时) | 频数(人数) | 频率 |
A | 0≤t≤0.5 | 6 | 0.15 |
B | 0.5≤t≤1 | a | 0.3 |
C | 1≤t≤1.5 | 10 | 0.25 |
D | 1.5≤t≤2 | 8 | b |
E | 2≤t≤2.5 | 4 | 0.1 |
合计 | 1 |
请根据图表中的信息,解答下列问题:
(1)表中的a= ,b= ,中位数落在 组,将频数分布直方图补全;
(2)估计该校2000名学生中,每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有多少名?
(3)E组的4人中,有1名男生和3名女生,该校计划在E组学生中随机选出两人向全校同学作读书心得报告,请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率.
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【题目】张老师驾车从家出发到植物园赏花,匀速行驶一段时间后,途中遇到堵车原地等待一会儿,然后加速行驶,到达植物园,参观结束后,张老师驾车一路匀速返回,其中x表示汽车从家出发后所用时间,y表示车离家的距离,下面能反映y与x的函数关系式的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.
(1)补充完成图形;
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
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