Question

【题目】如图，已知AC=BC，点D是BC上一点，∠ADE=∠C．

（1）如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°．

①求证：∠EDB=∠CAD；

②求证：DA=DE；

（2）如图2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度数；

（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）∠AGD=110°；（3）∠DBE=90°+∠C．

【解析】

（1）①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论；

②如图1，作辅助线，构建等腰直角三角形，利用ASA证明△AFD≌△DBE（ASA），可得结论；

（2）方法一：如图2，同理作辅助线，证明△AGD≌△DBE（SAS），得∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如图2，延长DB到点H使DH=AC，连接EH，证明△ACD≌△DHE（SAS），得∠C=∠H=40°，CD=EH，再根据已知证明CD=BH=EH，可得结论；

（3）同理作辅助线，证明△AFD≌△DBE（SAS），根据三角形的外角和三角形内角和定理可得结论．

（1）证明：①∵∠ADE=∠C，

∴∠CAD=180°-∠C-∠ADC，

∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC，

∴∠CAD=∠EDB；

②在AC上截取CF=CD，连接FD，（或在AC上截取AF=BD，连接FD）

∵∠C=90°，

∴∠CFD=∠CDF=45°，

∴∠AFD=135°=∠DBE，

∵AC=BC，

∴AC-CF=BC-CD，即：AF=BD，

由①知：∠CAD=∠BDE，

∴△AFD≌△DBE（ASA），

∴DA=DE；

（2）方法一：如图2，在AC上截取AG=DB，连接GD（在AC上截取CG=CD，连接GD），

∵AC=BC，

∴AC-AG=BC-BD即：CG=CD，

∴∠CGD=∠CDG==70°，

∵DA=DE，∠CAD=∠EDB（已证），AG=DB，

∴△AGD≌△DBE（SAS），

∴∠AGD=∠DBE=110°；

方法二：如图3，延长DB到点H使DH=AC，连接EH，

∵∠CAD=∠BDE，AD=DE，

∴△ACD≌△DHE（SAS），

∴∠C=∠H=40°，CD=EH，

∵AC=BC=DH，

∴CD=BH=EH，

∴∠HBE=∠HEB=70°，

∴∠DBE=110°；

（3）当∠DBE=90°+∠C时，总有DA=DE成立；

理由是：如图3，在AC上截取CF=CD，连接DF，则∠CDF=∠CFD，

设∠CDF=x，

△CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD=180°，

∴∠C+x+x=180°，

x==90°-，

同理得△AFD≌△DBE（SAS），

∴∠AFD=∠DBE=∠C+∠CDF=∠C+x=∠C+90°-∠C，

∴∠DBE=90°+∠C．