Question

4．已知关于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0．
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根x₁、x₂，且满足$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）首先利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂，x₁•x₂，接着利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．

解答 （1）证明：△=（4m+1）²-4（2m-1）
=16m²+8m+1-8m+4=16m²+5＞0，
所以不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x₁+x₂=-（4m+1），x₁•x₂=2m-1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-（4m+1）}{2m-1}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：m=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．