Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图①所示，求∠ADE的度数；

（2）若α＝60°时，F是边AC的中点，如图②所示，求证：四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图①，利用旋转的性质得CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数；
（2）如图②，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=AC，则BF=AB，再根据旋转的性质得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，从而得到DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF=BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．

解：（1）∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.

∴∠CAD＝∠CDA＝×（180°﹣30°）＝75°

∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°.

（2）∵F是边A C的中点，

∴BF＝AC.

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC.

∴BF＝AB.

∴△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°， BC＝EC，DE＝AB，AC=DC.

∴DE＝BF，△ACD，△BCE是等边三角形.

∴BE＝BC.

∴F是边AC的中点，

∴DF⊥AC，CF=BF=AB.

∴∠CFD=90°.

∴Rt△CFD≌Rt△ABC.

∴DF＝BC.

∴DF＝BE.

又∵BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．