Question

18．如图，直线l与x轴、y轴交于A、B两点．与双曲线y=$\frac{k}{x}$和交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F．连接CF、DE．则下列结论中：
①△CEF的面积等于$\frac{k}{2}$；②EF∥AB；③△DCE≌△CDF；④AC=BD，
正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①连接OC，如图，运用平行等积法和反比例函数k的几何意义即可解决问题；
②连接OD，如图，运用平行等积法和反比例函数k的几何意义可得S_△CEF=S_△DEF，则C、D到EF的距离相等，从而可得EF∥AB；
③只需运用反证法就可解决问题；
④易证四边形ACEF和四边形BEFD是平行四边形，即可得到AC=EF=BD．

解答 解：①连接OC，如图，
∵CE⊥y轴，AF⊥y轴，
∴CE∥AF，
∴S_△CEF=S_△CEO=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|$．
∵k＞0，
∴S_△CEF=$\frac{k}{2}$，故①正确；
②连接OD，如图，
∵DF⊥x轴，OE⊥x轴，
∴OE∥DF，
∴S_△DEF=S_△OFD=$\frac{1}{2}$$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|$，
∴S_△CEF=S_△DEF，
∴CD∥EF，即EF∥AB，故②正确；
③假设△DCE≌△CDF，则∠DCE=∠CDF．
∵AF∥CE，
∴∠DAF=∠DCE，
∴∠DAF=∠CDF．
∵∠AFD=90°，
∴∠DAF=45°．
与直线l是任意一条直线矛盾，
故假设不成立，故③错误；
④∵EF∥CD，AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AC=EF．
同理BD=EF，
∴AC=BD，故④正确．
故答案为①②④．

点评 本题主要考查了平行等积法、反比例函数k的几何意义、反证法、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，在解决问题的过程中用到了平行等积法、反证法等重要的数学方法，应熟练掌握．