Question

【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；

（2）如图，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形；

Answer 1

【答案】（1）当AC=或或时，△ABC是比例三角形；（2）见解析

【解析】

（1）根据比例三角形的定义，分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得．

（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、BC=3，

①当AB2=BC·AC时，得：4=3AC，解得：AC=；

②当BC2=AB·AC时，得：9=2AC，解得：AC=；

③当AC2=AB·BC时，得：AC2=6，解得：AC=（负值舍去）；

所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；．

（2）∵AD//BC，

∴∠ACB=∠CAD，

又∵∠BAC=∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，即CA2=BC·AD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴CA2=BC·AB，

∴△ABC是比例三角形．