Question

【题目】如图，已知梯形中，，，，，是边上一点，过、分别作、的平行线交于点，联结并延长，与射线交于点．

（1）当点与点重合时，求的值；

（2）当点在边．上时，设，求的面积；(用含的代数式表示)

（3）当时，求的余弦值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）．

【解析】

（1）由题意可得四边形DCEF是平行四边形，可得CD=EF，通过证明△CFE∽△CAB进行分析求值即可；

（2）根据题意延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H，由题意可得四边形ADCN是矩形，可得AD=CN=4，CD=AN=3，BN=3，由平行线分线段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的长，即可求GD的长，由三角求形面积公式可△DFG的面积；

（3）根据题意由△AFD∽△ADG，可得∠AFD=∠ADG=90°，由余角的性质可得∠DAG=∠B，即可求∠DAG的余弦值．

解：（1）如图，

∵DC∥EF，DF∥CE，

∴四边形DCEF是平行四边形，

∴CD=EF，

∵AB=2CD=6，

∴AB=2EF，

∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AB，

∴△CFE∽△CAB，

∴,

∴BC=2CE，

∴BE=CE,

∴EC：BE=1：1=1.

（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H,

∵AD⊥CD，CN⊥CD,

∴AD∥CN，且CD∥AB,

∴四边形ADCN是平行四边形，

又∵∠DAB=90°,

∴四边形ADCN是矩形，

∴AD=CN=4，CD=AN=3，

∴BN=AB-AN=3，

在Rt△BCN中，BC=,

∴BE=BC-CE=5-m，

∵EF∥AB,

∴即，

∴ME=BE=5-m，

∴MC=ME-CE=5-2m，

∵EF∥AB，

∴，

∴HC=，

∵CG∥EF，

∴，即，

∴，

∴，

∴.

（3）过点C作CN⊥AB于点N，

∵AB∥CD，∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠ADG=90°，

若△AFD∽△ADG，

∴∠AFD=∠ADG=90°，

∴DF⊥AG，

又∵DF∥BC，

∴AG⊥BC，

∴∠B+∠GAB=90°，且∠DAG+∠GAB=90°，

∴∠B=∠DAG，

∴.