Question

【题目】如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：；

（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）在（1）的条件下，若，，若把绕点A旋转，当时，求PB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）由题意依据等腰三角形的性质得到，，依据同角的余角相等得到，然后依据SAS可证明≌，最后，依据全等三角形的性质可得到；

（2）根据题意先判断出∽，进行分析即可得出结论；

（3）由题意分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明∽，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

解：（1）和是等腰直角三角形，，

，，．

≌．

．

（2）（1）中结论成立，理由：

在中，，

，

在中，，

，

，

，

∽，

.

（3）解：当点E在AB上时，．

，

．

同（1）可证≌．

，

，

∽．

，

，

．

当点E在BA延长线上时，．

，

，

同（1）可证≌．

，

，

∽．

，

，

．

综上所述，PB的长为或．