【题目】如图，
和
是有公共顶点的直角三角形，
，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：
；
（2）如图2，若
，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，若
，
，若把绕点A旋转，当
时，求PB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
或
．
【解析】
（1）由题意依据等腰三角形的性质得到
，
，依据同角的余角相等得到
，然后依据SAS可证明
≌
，最后，依据全等三角形的性质可得到
；
（2）根据题意先判断出∽，进行分析即可得出结论；
（3）由题意分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明
∽，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
解：（1）
和
是等腰直角三角形，
，
，
，．
≌．
．
（2）（1）中结论成立，理由：
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
，
∽，
.
（3）解：
当点E在AB上时，
．
，
．
同（1）可证≌．
，
，
∽．
，
，
．
当点E在BA延长线上时，
．
，
，
同（1）可证≌．
，
，
∽．
，
，
．
综上所述，PB的长为
或
．
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD.
（1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；
（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB.上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知梯形
中，
，
，
，
，
是边
上一点，过
、分别作、
的平行线交于点
，联结
并延长，与射线
交于点
．
（1）当点与点
重合时，求
的值；
（2）当点在边．上时，设
，求
的面积；(用含
的代数式表示)
（3）当
时，求
的余弦值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．
已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
① 取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O； ② 以点O为圆心，OB长为半径画圆；
③ 以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④ 连接BC，AC．
则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是________________________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知一次函数
与
轴交于点
，与
轴交于点
，一次函数
经过点与轴交于点．
（1）求直线
的解析式；
（2）点
为轴上方直线上一点，点
为线段
的中点，点
为线段
的中点，连接
，取的中点
，射线
交轴于点
，点
为线段
的中点，点
为线段
的中点，连接
，求证：
；
（3）在（2）的条件下，延长至
，使
，连接
、
，若
，求点的坐标．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】(1)计算：(3﹣π)0﹣
+|3﹣
|+(tan30°)﹣1
(2)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a(a﹣b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊕5=2×(2﹣5)+1
=2×(﹣3)+1
=﹣6+1
=﹣5
若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A.3.6B.4C.4.8D.5
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知
，点
为直线
上一点，以
为边，点
为直角顶点作等腰直角三角形
．
（1）如图①，当点在线段上时，
交
于点
，连接
；
①找出一对全等三角形为_____________；
②若四边形
的面积为7，则
的长是_______．
（2）如图②，当点在的延长线上时，交于点，连接．
①
的面积记为
，
的面积记为
，探究、之间的数量关系并说明理由；
②当的面积为1时，求的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点
、点
，又与
轴正半轴相交于点
，
，点
是线段
上的一点，过点作
，与抛物线交于点
，且点在第一象限内．
备用图
（1）求抛物线的表达式；
（2）若
，求点的坐标；
（3）过点作
轴，分别交直线、轴于点
、
，若
的面积等于
的面积的
倍，求
的值．
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