Question

【题目】如图，在ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
（1）求证：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

在△BEF和△CEH中， ，

∴△BEF≌△CEH（AAS）；

（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE= BC= AD=2．

∴BF=1，EF= ．

∵△BEF≌△CEH，

∴BF=CH=1，EF=EH= ，DH=4，

∵∠CHE=90°，

∴DE2=EH2+DH2．

∴DE= = ．

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH= CE=1，求出EH= CG= ，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．
【考点精析】利用平行四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．