Question

10．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，⊙O经过A，C，D三点，BC的延长线交⊙O于点E．
（1）请利用直尺和圆规将图补充完整；（要求：标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结AE，求证：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）作AC和AD的垂直平分线，它们相交于点P，再以P点为圆心，PA为半径作圆，BC的延长线交⊙O于点E；
（2）根据圆周角定理证明∠ADE=90°，则ED⊥AB，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得到AD=BD，即DE垂直平分AB，然后根据线段垂直垂平分线的性质即可得到结论．

解答 （1）解：如图，⊙O为所作；
（2）证明：连结ED，如图，
∵∠ACE=90°，
∴AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∴ED⊥AB，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
即DE垂直平分AB，
∴AE=BE．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．