Question

如图，边长是5的正方形ABCD内，半径为2的⊙M与边DC和CB相切，⊙N与⊙M外切于点P，并且M与边DA和AB相切．EF是两圆的内公切线，点E和F分别在DA和AB上．则EF的长等于

 

．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明MC=2

2

；AC=2

2

+2+2λ，此为解决问题的关键性结论；运用勾股定理得到（2

2

+2+2λ）²=5²×2，求得2λ=3

2

-2，证明EF=2AP，即可解决问题．

解答：解：如图，连接AC、MG、MH；设⊙N的半径为λ；
由题意得：点N、P、M均在AC上；
且MG⊥DC，MH⊥BC；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCH=90°，AD=CD=5，∠D=90°；而MG=MH，
∴四边形MGCH为正方形，MG=CG=2，
由勾股定理得：MC²=2²+2²，
∴MC=2

2

；AC=2

2

+2+2λ；
由勾股定理得：（2

2

+2+2λ）²=5²×2，
解得：2λ=3

2

-2；
由题意知：∠EAP=∠FAP=45°，AP⊥EF，
∴∠AEP=∠AFP=45°，
∴EP=FP=AP，
∴EF=2AP=6

2

-4，
故答案为6

2

-4．

点评：该题以正方形和圆为载体，考查了相切两圆的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握正方形、相切两圆的性质、勾股定理及其应用等问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．