【题目】如图,⊙O的直径AB长为6,弦AC长为2,∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BD的长;
(2)将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°,请补充旋转后图形,并计算CD的长.
【答案】(1);(2)4+.
【解析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°,再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD,然后求出AD=BD,再根据等腰直角三角形的性质其解即可;
(2)延长CB到C′,使C′B=AC,连接C′D,根据勾股定理列式求出BC的长,再根据圆内接四边形的对角互补求出∠CAD+∠DBC=180°,从而得到旋转后AD与BD重合,C点的对应点C′与B、C在同一直线上,然后判断出△C′DC为等腰直角三角形,再求出CC′,然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解.
解:(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,
∴∠DCA=∠BCD,
∴
∴AD=BD,
∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=×6=3;
(2)延长CB到C′,使C′B=AC,连接C′D
在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,
∴BC=,
∵四边形ACBD是圆内接四边形,
∴∠CAD+∠DBC=180°,
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后,AD与BD重合,C点的对应点C′与B、C在同一直线上,且△C′DC为等腰直角三角形,
∵C′C=AC+BC=2+4,
∴在Rt△C′DC中,CD=C′D=C′C=4+.
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【题目】富平因取“富庶太平”之意而得名,是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲,于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是:在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c,(除颜色外其它均相同),小丽从袋子中摸出一个球,放回后搅匀,小明再从袋子中摸出一个球,若两次摸到的球颜色相同,则小丽获胜,否则小明获胜,请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率,并说明这个游戏规则对双方公平吗?
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【题目】如图,已知点A,点C在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,OC交AB于点D,若CD=OD,则△AOD与△BCD的面积比为__.
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【题目】如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( )
A. B. 2 C. D. 2
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【题目】如图,这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=5,BE=3,若向正方形ABCD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABCD内,且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率为__________.
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【题目】快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息1.5小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间为x小时,快车行驶的路程为千米,慢车行驶的路程为千米.如图中折线OAEC表示与x之间的函数关系,线段OD表示与x之间的函数关系.
请解答下列问题:
(1)求快车和慢车的速度;
(2)求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式;
(3)线段OD与线段EC相交于点F,直接写出点F的坐标,并解释点F的实际意义.
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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.
(1)线段AC的长度是 .
(2)如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长;
(3)不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围 .
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【题目】跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为,离地面的高度为,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.
(1)当身高为的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;
(2)若身高为的小丽也站在绳子的正下方.
①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由;
③设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求的取值范围.(参考数据:取3.16)
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【题目】如图,在矩形中,,为边的中点,将绕点顺时针旋转,点的对应点为,点的对应点为,过点作交于点,连接、交于点,现有下列结论:①;②;③;④点为的外心.其中正确的是( )
A.①④B.①③C.③④D.②④
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