Question

【题目】如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）线段AC的长度是　 　．

（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可；

（2）连接PF，如图3，利用平行四边形的性质和切线的性质可得PF∥AC，进而可证明△DPF∽△DAC，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即得AP的长；

（3）先利用平行四边形的面积求出当⊙P与BC相切时圆的半径，可发现此时⊙P与平行四边形ABCD的边有5个公共点；再分两种情况：①⊙P与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点，分别求出即可得到答案．

解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，

故答案为：8；

（2）如图3所示，连接PF，设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P与边CD相切于点F，

∴PF⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，即，

解得：x＝，

即AP＝；

（3）当⊙P与BC相切时，设切点为G，连接PG，如图4，则SABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为5；

①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点，与BC没有公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；

②当⊙P过点A、C、D三点，如图5，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5，

故答案为：＜AP＜或AP＝5．