【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(﹣2,0),点B(1,0),交y轴于点C(0,2).
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接AC,在直线AC上方的抛物线上有一点N,过点N作y轴的平行线,交直线AC于点F,设点N的横坐标为n,线段NF的长为l,求l关于n的函数关系式;
(3)若点M在x轴上,是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2;(2)l=﹣n2﹣2n;(3)存在,点M的坐标为(﹣1,0)或(1,0)或(1﹣,0)或(﹣,0).
【解析】
(1)先根据两点的坐标,可设抛物线的解析式的交点式,再由点C的坐标利用待定系数法求解即可;
(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据点N的横坐标可求出点N与点F的纵坐标,从而根据即可得出答案;
(3)先利用勾股定理求出BC、BM、CM的长,再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论,分别列出等式求解即可.
(1)由两点的坐标,设抛物线的表达式为
将点代入得
解得
故抛物线的表达式为;
(2)设直线AC的表达式为
将代入得
解得
则直线AC的表达式为
由题意设点,则点
因此,,即
故l关于n的函数关系式为;
(3)存在,求解过程如下:
设点,因点,点
则
根据等腰三角形的定义分以下3种情况:
①当时,,解得(此时点M与点B重合,舍去)或
②当时,,解得
③当时,,解得
综上,点M的坐标为或或或.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE=AF,AC与EF相交于点G.下列结论:①AC垂直平分EF;②BE+DF=EF;③当∠DAF=15°时,△AEF为等边三角形;④当∠EAF=60°时,S△ABE=S△CEF.其中正确的是( )
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④
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【题目】已知:在△EFG中,∠EFG=90°,EF=FG,且点E,F分别在矩形ABCD的边AB,AD上.
(1)如图1,当点G在CD上时,求证:△AEF≌△DFG;
(2)如图2,若F是AD的中点,FG与CD相交于点N,连接EN,求证:EN=AE+DN;
(3)如图3,若AE=AD,EG,FG分别交CD于点M,N,求证:MG2=MNMD.
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【题目】如图,这个图案是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=5,BE=3,若向正方形ABCD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABCD内,且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率为__________.
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【题目】在研究反比例函数的图象与性质时,我们对函数解析式进行了深入分析.首先,确定自变量x的取值范围是全体非零实数,因此函数图象会被y轴分成两部分;其次,分析解析式,得到y随x的变化趋势:当x>0时,随着x值的增大,y的值减小,且逐渐接近于零,随着x值的减小,y的值会越来越大,由此,可以大致画出在x>0时的部分图象,如图1所示.利用同样的方法,我们可以研究函数的图象与性质.
(1)该函数自变量x的取值范围_______________;
(2)通过分析解析式画出部分函数图象,如图2所示.请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象与y轴的交点A;(画出网格区域内的部分即可)
(3)观察图象,写出该函数的一条性质: ;
(4)若关于x的方程有两个不相等的实数根,结合图象,直接写出实数a的取值范围: .
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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点.
(1)线段AC的长度是 .
(2)如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长;
(3)不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围 .
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点的对应点分别为,记旋转角为.
(1)如图①,当时,求点的坐标;
(2)如图②,当点落在的延长线上时,求点的坐标;
(3)当点落在线段上时,求点的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】如图,P是所对弦AB上一动点,过点P作PC⊥AB交于点C,取AP中点D,连接CD.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,C.D两点间的距离为ycm.(当点P与点A重合时,y的值为0;当点P与点B重合时,y的值为3)
小凡根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小凡的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 2.2 | 3.2 | 3.4 | 3.3 | 3 |
(2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合所画出的函数图象,解决问题:当∠C=30°时,AP的长度约为 cm.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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