Question

18．如图，正方形ABCD中，点F在AD上，点E在AB的延长线上，∠FCE=90°
（1）求证：△CDF≌△CBE；
（2）如果正方形ABCD的面积为64，Rt△CEF的面积为50，则线段BE的长为多少？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出CD=CB，∠D=∠DCB=∠CBA=90°，由角的互余关系得出∠DCF=∠BCE，由ASA即可证明△CDF≌△CBE；
（2）正方形的面积得出边长，由全等三角形的性质得出CF=CE，证出△CEF是等腰直角三角形，由三角形的面积求出CE，再根据勾股定理求出BE即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠CBA=90°，
又∵∠FCE=90°，
∴∠FCB+∠FCD=90°，
∠FCB+∠ECB=90°，
∴∠DCF=∠BCE，
在△CDF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CBE}&{\;}\\{CD=CB}&{\;}\\{∠DCF=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBE（ASA）；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为64，
∴CB=8，
∵△CDF≌△CBE，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$CF×CE=50，
∴CE²=100，
∴CE=10，
在Rt△CBE中，BE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．