Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠B的平分线交AC于D，AC=2，则AD=

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得∠ABD=

1

2

∠ABC=36°，则DA=DB，于是可证明△BDC∽△ABC，利用相似比得到CD：BC=BC：AC，利用等线段代换得到CD：AD=AD：AC，于是可根据黄金分割的定义得到AD=

5 -1

2

AC．

解答：解：如图，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵∠ABC的平分线BD与AC交于D，
∴∠ABD=

1

2

∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∵∠C=∠ABC=∠BDC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴CD：BC=BC：AC，
∴CD：AD=AD：AC，
∴AD=

5 -1

2

AC=

5

-1．
故答案为：

5

-1．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．