Question

已知△AOB在平面直角坐标系中，A（1，3），B（2，0），经过点C（-2，0）的一条直线交线段AO于点D，交线段AB于点E，S_△COD=S_△ADE．
（1）求直线CD的表达式；
（2）若直线CD交y轴于点F，在平面内是否存在一点P，使△FOC≌△FOP？若存在，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线CD解析式为y=kx+b，分别求得点D，E的纵坐标，根据S_△COD=S_△ADE即可解题；
（2）在图中画出点P存在的位置，使得△FOC≌△FOP，根据数形结合的方式解本题．

解答：解：（1）过A，D，E作AH⊥OB，DM⊥OB，EN⊥OB，

设直线CD解析式为y=kx+b，代入C点得，b=2k，
∴直线CD解析式为y=kx+2k，
∵直线AB的解析式为y=-3x+6，直线OA的解析式为y=3x，
∴D点纵坐标为

6k

k-3

，E点纵坐标为

12k

k+3

，
∵△ADE面积=△ABO面积-四边形DEBO的面积，
四边形DEBO的面积=△EBC面积-△COD面积；
∴

1

2

×2×3-（

1

2

×4×

12k

k+3

-

1

2

×2×

6k

k-3

）=

1

2

×2×

6k

k-3

解得：k=

3

7

，
∴直线CD解析式为y=

3

7

x+

6

7

．
（2）直线CD与y轴交点为：当x=0时，y=

6

7

，
则点F坐标为（0，

6

7

），

从图中可以看出当P纵坐标为

6

7

，横坐标为2或-2时，△FOC≌△FOP，
或者P与D点重合时，△FOC≌△FOP，
故存在点P，点P坐标为（2，0）或（2，

6

7

）或（-2，

6

7

）．

点评：本题考查了直线交点坐标的求解，考查了一次函数的求解问题，考查了数形结合解题的方法，本题中求得k的值是解题的关键．