Question

已知⊙O过点D（3，4），点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A．
（1）求sin∠HAO的值；
（2）如图2，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，求sin∠CGO的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OH，DH，DH交x轴于Q，如图1，利用关于x轴的点的坐标特征得到H（3，-4），再根据切线的性质，由AH与⊙O相切于H得到OH⊥AH，则可利用等角的余角相等得到∠HAO=∠QHO；在Rt△OQH中，根据勾股定理计算出OH=5，然后根据正弦的定义计算出sin∠QHO=

3

5

，即有sin∠HAO=

3

5

；
（2）作DH⊥x轴于H，交⊙O于M，连接OM交BC于N，如图，由OH⊥DM，根据垂径定理得HD=HM，则点M与点D关于x轴对称，则M（3，-4），再根据等腰三角形的性质得DH平分∠FDE，即∠CDM=∠BDM，则根据圆周角定理得到

CM

=

BM

，接着可利用垂径定理的推论得到OM⊥BC，则∠NGO+∠NOG=90°，利用等角的余角相等得到∠NGO=∠OMH，在Rt△OMH中，用勾股定理计算出OM=5，于是可根据正弦的定义得到sin∠OMH=

3

5

，则sin∠NGO=

3

5

，即sin∠CGO=

3

5

．

解答：解：（1）连接OH，DH，DH交x轴于Q，如图1，
∵点H与点D关于x轴对称，
∴x轴垂直平分DH，
而D（3，4），
∴H（3，-4），
∵AH与⊙O相切于H，
∴OH⊥AH，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
而∠QHO+∠AOH=90°，
∴∠HAO=∠QHO，
在Rt△OQH中，∵OQ=3，QH=4，
∴OH=

OQ2+QH2

=5，
∴sin∠QHO=

OQ

OH

=

3

5

，
∴sin∠HAO=

3

5

；
（2）作DH⊥x轴于H，交⊙O于M，连接OM交BC于N，如图2，
∵OH⊥DM，
∴HD=HM，
∴点M与点D关于x轴对称，
而D（3，4），
∴M（3，-4），
∵△DEF是以EF为底的等腰三角形，
∴DH平分∠FDE，即∠CDM=∠BDM，
∴

CM

=

BM

，
∴OM⊥BC，
∴∠ONG=90°，
∴∠NGO+∠NOG=90°，
而∠NOG+∠OMH=90°，
∴∠NGO=∠OMH，
在Rt△OMH中，∵OH=3，MH=4，
∴OM=

OH2+MH2

=5，
∴sin∠OMH=

OH

OM

=

3

5

，
∴sin∠NGO=

3

5

，
即sin∠CGO=

3

5

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理和切线的性质；会运用勾股定理和锐角三角函数的定义进行几何计算；理解关于x轴对称的点的坐标特征和坐标与图形性质．