Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为（-4，0）．
（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点D，使得△ACD为等腰三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设直线AC的解析式为y=mx+n，将点A、点C代入可确定直线AC解析式，将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得b、c的值，继而可得抛物线解析式；
（2）设点P的坐标，求出四边形APCO的面积，再由S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△OAC，利用配方法求最值即可，得出x的值，可得点P的坐标；
（3）求出AC的长度，分类讨论．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A、C的坐标代入可得：

-4m+n=0 n=-4

，
解得：

m=-1 n=-4

，
则直线AC的解析式为y=-x-4；
将点A、C的坐标代入抛物线可得：

8-4b+c=0 c=-4

，
解得：

b=1 c=-4

，
则抛物线解析式为：y=

1

2

x²+x-4．

（2）设点P的坐标为（x，

1

2

x²+x-4），
过点P作PM⊥x轴于点M，
则S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△OAC
=S_{四边形OCPM}+S_△APM-S_△AOC
=

1

2

（OC+PM）×OM+

1

2

AM×PM-

1

2

OA×OC
=

1

2

[4-（

1

2

x²+x-4）]×（-x）+

1

2

（4+x）×[-（

1

2

x²+x-4）]-

1

2

×4×4
=-x²-4x
=-（x+2）²+4，
当x=-2时，S_△PAC取得最大，最大值为4，
此时点P的坐标为（-2，-4）．

（3）AC=4

2

，
当AD=AC时，点D的坐标为（0，4）；
当CA=CD时，点D的坐标为（0，4

2

-4）或（0，-4

2

-4）．
综上可得点D的坐标为：（0，4）或（0，4

2

-4）或（0，-4

2

-4）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求抛物线及直线解析式、梯形及三角形的面积，配方法求二次函数的最值，难度较大，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用．