Question

给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线，这个公共点叫做切点．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=

1

4

x²的切线；
②直线x=-2与抛物线y=

1

4

x²相切于点（-2，1）；
③若直线y=x+b与抛物线y=

1

4

x²相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y=kx-2与抛物线y=

1

4

x²相切，则实数k=

2

．
其中正确命题的番号是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：根据二次函数的性质得抛物线y=

1

4

x²的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，则根据新定义可对①②进行判断；利用抛物线与一次函数的交点问题，方程组

y=x+b y= 1 4 x2

只有一组解，消去y得到

1

4

x²-x-b=0有两个相等的实数解，则可根据判别式的意义计算出b=-1，解得

x=2 y=1

，于是可对③进行判断；与前面方法一样得到

1

4

x²-kx+2=0有两个相等的实数解，利用判别式的意义得△=（-k）²-4×

1

4

×2=0，解得k=±

2

，则可对④进行判断．

解答：解：直线y=0是与抛物线y=

1

4

x²只有一个公共点（0，0），所以①正确；直线x=-2与抛物线y=

1

4

x²的对称轴y轴平行，所以②错误；直线y=x+b与抛物线y=

1

4

x²相切，则

y=x+b y= 1 4 x2

只有一组解，所以

1

4

x²-x-b=0有两个相等的实数解，△=（-1）²-4×

1

4

×（-b）=0，解得b=-1，则x=2，y=1，所以它们的切点坐标为（2，1），所以③正确；
若直线y=kx-2与抛物线y=

1

4

x²相切，

1

4

x²-kx+2=0有两个相等的实数解，△=（-k）²-4×

1

4

×2=0，解得k=±

2

，所以④错误．
故答案为①③．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

．也考查了抛物线与一次函数的交点问题．