Question

已知，如图，∠MON=45°，OA₁=1，作正方形A₁B₁C₁A₂，周长记作C₁；再作第二个正方形A₂B₂C₂A₃，周长记作C₂；继续作第三个正方形A₃B₃C₃A₄，周长记作C₃；点A₁、A₂、A₃、A₄…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃、B₄…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C_n=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：规律型

分析：判断出△OA₁B₁是等腰直角三角形，求出第一个正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，再求出△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，再求出第2个正方形A₂B₂C₂A₃的边长为2，然后依次求出第3个正方形的边长，第4个正方形的边长第5个正方形的边长，即可得出周长的变化规律．

解答：解：∵∠MON=45°，
∴△OA₁B₁是等腰直角三角形，
∵OA₁=1，
∴正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，
∵B₁C₁∥OA₂，
∴∠B₂B₁C₁=∠MON=45°，
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，
∴正方形A₂B₂C₂A₃的边长为：1+1=2，
同理，第3个正方形A₃B₃C₃A₄的边长为：2+2=2²，其周长为：4×2²=2⁴，
第4个正方形A₄B₄C₄A₅的边长为：4+4=2³，其周长为：4×2³=2⁵，
第5个正方形A₅B₅C₅A₆的边长为：8+8=2⁴，其周长为：4×2⁴=2⁶，
则第n个正方形的周长C_n=2ⁿ⁺¹．
故答案为：2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，得出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍是解题的关键．