Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，图中的虚线表示该抛物线的对称轴，连接AC与BC．
（1）求该函数的解析式？
（2）求△ABC的面积？
（3）抛物线上是否存在一点Q使得S_△ABQ：S_△ABC=4：3？若存在Q点，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．（注意：S_△ABQ：表示△ABQ的面积）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）代入抛物线y=ax²+bx+c，即可得出抛物线的解析式．
（2）由AB=4，OC=1，根据三角形的面积公式求解即可，
（3）利用比例式求出S_△ABQ，利用三角形的面积公式求出|Q_纵坐标|，再分两种情况求解即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-1），
∴代入抛物线y=ax²+bx+c得

0=a-b+c 0=9a+3b+c C=-1

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

．
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2

3

x-1．
（2）∵AB=4，OC=1，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×1=2．
（3）存在．
理由如下：
∵S_△ABQ：S_△ABC=4：3，S_△ABC=2
∴S_△ABQ=

8

3

，
∴

1

2

×4×|Q_纵坐标|=

8

3

，解得|Q_纵坐标|=

4

3

，
①当Q_纵坐标=

4

3

时，代入y=

1

3

x²-

2

3

x-1．

4

3

=

1

3

x²-

2

3

x-1．解得x=1±2

2

，
所以Q₁（1+2

2

，

4

3

），Q₂（1-2

2

，

4

3

），
②当Q_纵坐标=-

4

3

时，代入y=

1

3

x²-

2

3

x-1．
-

4

3

=

1

3

x²-

2

3

x-1．解得x=1，
所以Q₃（1，

4

3

）．
综上所述：Q₁（1+2

2

，

4

3

），Q₂（1-2

2

，

4

3

），Q₃（1，

4

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是根据Q_纵坐标分两种情况讨论求解．