[题目]如图1.将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．(1)操作发现:如图2.固定△ABC.使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时.填空:①线段DE与AC的位置关系是 ,②设△BDC的面积为S1.△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是 ,(2)猜想论证:当△DEC绕点C旋转到图3所示� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1)操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是；

(2)猜想论证：

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

【答案】（1）DE∥AC；S1=S2；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60,然后根据内错角相等,两直线平行解答;

②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用"角角边"证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;

试题解析：

（1）①线段DE与AC的位置关系是平行．②S1与S2的数量关系是相等．

证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，

∴DN=CF,DN=EM．

∴CF=EM．

∵∠ACB=90,∠B=30，

∴AB=2AC．

又∵AD=AC,

∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，

∴S1=S2．

证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵∠DCE=∠ACB=90∴∠DCG+∠ACE=180．

又∵∠ACH+∠ACE=180,∴∠ACH=∠DCG．

又∵∠CHA=∠CGD=90,AC=CD,

∴△AHC≌△DGC．

∴AH=DG．

又∵CE=CB,

∴S1=S2．

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②若李海本月的通话时间为180分钟，则他选择类卡省钱；

③若本月李海预缴了100元的话费，则他选择类卡划算；

④若类卡比类卡的话费多10元，则类卡和类卡的通话时间都是40分钟或类卡比类卡的通话时间多40分钟且类卡和类卡的通话时间分别为240分钟和200分钟．其中正确的结论有（）

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