Question

【题目】等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD的中点，连接MN、NF．

问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为　 　，线段MN和线段NF的数量关系为 　；

深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；

拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为　　．

Answer 1

【答案】（1）45°，NF＝MN；（2）∠MNF＝45°，NF＝MN；（3）4

【解析】

（1）如图1，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再根据三角形中位线定理即可解决问题．

（2）如图2，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再利用三角形中位线定理即可解决问题．

（3）如图3中，如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，△BCP的面积最小．

解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，

∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，

∴∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠CHD＝90°，

∴EC⊥BH，

∵BM＝MC，BF＝FE，

∴MF∥EC，MF＝EC，

∵CM＝MB，CN＝ND，

∴MN∥BD，MN＝BD，

∴MN＝MF，MN⊥MF，

∴∠NMF＝90°，

∴∠MNF＝45°，NF＝MN．

故答案为：45°；NF＝MN．

（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，

∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，

∴∠OBH+∠BOH＝90°，

∴∠BHO＝90°，

∴EC⊥BD，

∵BM＝MC，BF＝FE，

∴MF∥EC，MF＝EC，

∵CM＝MB，CN＝ND，

∴MN∥BD，MN＝BD，

∴MN＝MF，MN⊥MF，

∴∠NMF＝90°，

∴∠MNF＝45°，NF＝MN．

（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．

当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，

∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，

∴∠CPB＝90°，

∵PB是⊙A的切线，

∴∠ADP＝90°，

∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，

∴四边形ADPE是矩形，

∵AE＝AD，

∴四边形ADPE是正方形，

∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，

∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，

∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．