Question

【题目】已知△OBF 是直角三角形，∠BFO=90°，∠BOF=30°，△AOB 是等边三角形，OB=4，点 A 与点 F 位于直线 OB 的异侧．

（Ⅰ）如图①，求 BF 及 OF 的长；

（Ⅱ）点 P 是直线OF 上的一个动点，连接 AP，以点 A 为旋转中心，把△AOP 逆时针旋转，使边 AO 与 AB 重合，得△ABD．

①如图②，求在点 P 运动过程中，使点 D 落在线段 OF 上时 OP 的长；

②求在点 P 运动过程中，使点 P 落在线段 OF 上，且△OPD 的面积等于时 OP 的长（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②

【解析】

（I）如图①中，解直角三角形△OBF 即可；

（Ⅱ）①只要证明△PAD 是等边三角形，OA⊥PD 即可解决问题；

②如图③中，过点 B 作 BE⊥OA 于点 E，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G，则 BG⊥DH．根据三角形的面积公式构建方程即可解决问题；

（I）如图①中，

在 Rt△BOF 中，∵∠F=90°，∠BOF=30°，OB=4，

∴BF= OB=2，OF= =2 ．

（Ⅱ）①如图②中，

∵△AOB 是等边三角形，

∴OA=OB=AB=4，∠OAB=∠AOB=60°

由旋转可知：∠PAD=∠OAB=60°，AP=AD，

∴△APD 是等边三角形，

∵∠AOD=∠AOB+∠BOF=90°，

∴OA⊥PD，

∴OP=OD，∠PAO=∠DAO=30°，

∴OP=OAtan30°=

②如图③中，过点 B 作 BE⊥OA 于点 E，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G，则 BG⊥DH．

设 BD=OP=x，

在 Rt△DBG 中，∠DBG=60°，

∴DG=BDsin60°= x．

∴DH=2+ x．

∵△OPD 的面积等于 ，

∴ x（2+ x）= ，

整理得：x2+4x﹣=0，

解得：x= 或 （舍去）．

∴OP= ．