Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（2，0），其中a、b满足$\sqrt{a+1}$+|b-3|=0，DE⊥x轴，且∠BED=∠ABO，直线AE交x轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线AE的解析式；
（3）若以AB为一边在第二象限内构造等腰直角三角形△ABF，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而可得出A、B两点的坐标；
（2）由已知角相等，加上一对直角相等，且根据A，B与D的坐标确定出OA=BD，利用AAS得到三角形AOB与三角形BED全等，利用全等三角形的对应边相等得到OB=ED，进而确定出E坐标，设直线AE解析式为y=mx+n，将A与E坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线AE解析式；
（3）分∠BAF=90°，∠ABF=90°或∠AFB=90°三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵a、b满足$\sqrt{a+1}$+|b-3|=0，
∴a+1=0，b-3=0，解得a=-1，b=3，
∵A（0，3），B（-1，0）；

（2）∵B（-1，0），D（2，0），A（0，3），
∴OB=1，OD=2，即BD=OB+OD=1+2=3，
∴OA=BD=3，
在△ABO和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BDE=90°\\∠ABO=∠BEO\\ OA=BD\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BED（AAS），
∴ED=OB=1，
∴E（2，1），
设直线AE解析式为y=mx+n，
将A（0，3）与E（2，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ 2m+n=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=3\end{array}\right.$．
∴直线AE解析式为y=-x+3；

（3）如图所示，当∠BAF=90°时，
过点F₁作F₁G⊥y轴于点G，
∵∠F₁AG+∠AF₁G=90°，∠F₁AG+∠BAO=90°，
∴∠AF₁G=∠BAO，
在△AGF₁与△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AF}_{1}G=∠BAO\\{∠AGF}_{1}=∠BOA\\{AF}_{1}=AB\end{array}\right.$，
∴△AGF₁≌△BOA，
∴AG=OB=1，GF₁=OA=3，
∴F₁（-3，4）；
当∠ABF=90°时，过点F₂作F₂G⊥x轴于点H，
同理可得△OAB≌△HBF₂，
∴BH=OA=3，F₂H=OB=1，
∴OH=BH+OB=3+1=4，
∴F₂（-4，1）；
当∠AFB=90°时，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，3），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=3\\-k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ k=3\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=3x+3．
设线段AB的中点为M，则M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设线段AB的垂直平分线l的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+c（a≠0），
∴$\frac{1}{6}$+c=$\frac{3}{2}$，解得c=$\frac{4}{3}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
设F₃（x，-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$），
∵△AF₃B是等腰直角三角形，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AF₃=$\sqrt{5}$，
∴x²+（-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$-3）²=5，解得x=-2，
∴F₃（-2，2）．
综上所述，F点的坐标为（-3，4）或（-4，1）或（-2，2）．

点评 此题考查的是一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．