Question

18．如图，直线AB交x轴于点B（2，0），交y轴于点A（0，2），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=3，连接DA，∠DAC=90°．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求D点坐标及过O、D、B三点的抛物线解析式．
（3）若点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交AB于F，交（2）中抛物线于E，连CE，是否存在P使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的判定与性质，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得E点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得E点坐标，可得P点坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=-x+2；
（2）如图1，
过D作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°-∠OAB=45°即△ADG是等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG-OA=DM-OA=3-2=1，
∴D点坐标是（1，3）；
设抛物线的解析式为y=ax（x-2），将D点坐标代入，得
a×1×（1-2）=3，解得a=-3，抛物线的解析式为y=-3x（x-2）；
（3）由（2）得∠PBF=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，设P（x，0），MP=x-1，PB=2-x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时，△BPF∽△FCE，
过C作CH⊥EF，CH=$\frac{1}{2}$EF，即EF=2CH=MP，
∴PE=PF+EF=BP+2MP=2-x+2（x-1）=x，即E（x，x）．
将E点坐标代入抛物线，得
x=-3x（x-2），
解得x₁=0不符合题意，舍），x₂=$\frac{5}{3}$，即P（$\frac{5}{3}$，0）；
②如图2，
当∠CEF=∠BPF=90°时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，PE=MC=1，
∴E（x，1），
将E点坐标代入函数解析式，得
-3x（x-2）=1，
解得x₁=$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，
此时P（$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，0）或（$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，0），
综上所述：P（$\frac{5}{3}$，0）；（$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，0）或（$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定与性质得出E点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．