Question

【题目】如图①，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，AD＝CD＝2，BD＝4，点 E 是线段BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 AC－CB 向终点 B 运动，点 P 在边 AC 上的速度为每秒个单位长度，P在BC边上的速度为个单位长度，设P的运动时间为 t(秒)．

(1)用含 t 的代数式表示点 P 到直线 AB 的距离．

(2)如图②，作点 P 关于直线 CD 的对称点 Q，设以 D、E、Q、P 为顶点的四边形的面积为 S(平方单位)，求 S 与 t 之间的函数关系式．

(3)当点 P 在边 BC 上时，在△BCD 的边上(不包括顶点)存在点 H，使四边形 DEPH为轴对称图形，直接写出此时线段 CP 的长．

Answer 1

【答案】(1)或；(2) ；(3)或或或

【解析】

(1)分两种情况：
①当P在边AC上时，如图1，根据△APG是等腰直角三角形，可得；
②当P在边BC上时，如图2，根据三角函数sin∠B，可得PG的长；
(2)分两种情况：
①当0＜t＜2时，P在边AC上，如图3，②当2＜t＜4时，P在边BC上，如图4，
四边形PQDE是梯形，根据梯形面积公式代入可得结论；
(3)分4种情况：
①如图5，当四边形DEPH是矩形时；②如图6，当四边形DEPH是等腰梯形时；③如图7，过D作DP⊥BC于P，过E作EH⊥PD，交CD于H，④如图8，过E作EP⊥BC于P，在BC上取点H，使PH=EP，连接DH，③和④是筝形；分别求出各情况的CP的长即可．

(1)过P作PG⊥AB于G，
分两种情况：
①当P在边AC上时，如图1，

Rt△ADC中，AD=CD=2，
∴∠A=45°，
∴△APG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AC=，

P走完AC段所花时间为：(秒)，
P在边AC上，即02时，

由题意得：AP=，
∴AG=PG= AP=，
即点P到直线AB的距离是t；
②当P在边BC上时，如图2，

BC=，

P走完BC段所花时间为：，

P在边BC上，即24时，

由题意得：CP=，

∴BP= BC - CP =，

sin∠B=，

∴，

∴PG=，
即点P到直线AB的距离是；
(2)分两种情况：
①当0＜t＜2时，P在边AC上，如图3，

设PQ与CD交于H，
∵点P关于直线CD的对称点Q，
∴PQ⊥CD，
∵AB⊥CD，
∴PQ∥AB，
∴△CPH∽△CAD，

∴，

∴，

∴PH=CH=，PQ=2PH=，

∵BD＝4，点 E 是线段BD 的中点，

∴DE=，
∴DH=CD-CH ，
∴；

②当2＜t＜4时，P在边BC上，如图4，

设PQ与CD交于H，
由题意得：CP，

同理PQ∥AB，
∴△CPH∽△CBD，

∴，

∴，

∴PH=2()，CH=，
∴DH=CD-CH=2()=，PQ=2PH=4)=，

∴；

(3)分4种情况：
①如图5，

当四边形DEPH是矩形时，四边形DEPH是轴对称图形，

∴PE∥CD，
∵点 E 是线段BD 的中点，

∴P是BC的中点，
∴CP=；
②如图6，

当四边形DEPH是等腰梯形时，四边形DEPH是轴对称图形，

∴DH∥PE，
则BD=BH=4，BE=PB=2，
此时CP ；
③如图7，

过D作DP⊥BC于P，过E作EH⊥PD，交CD于H，
∴EH∥BC，
∵E是BD的中点，
∴EH是PD的中垂线，
∴PH=DH，PE=DE，
∴四边形DEPH为轴对称图形，
=，

∴，

∴，

由勾股定理得：CP=；

④如图8，

过E作EP⊥BC于P，在BC上取点H，使PH=EP，连接DH，过H作HG⊥CD于G，
∵Rt△EPBRt△CDB中，BE=2，

∴，

∴，
∴EP=，PB=，

CH=BC-PH-PB=，

∵GH∥BD，
∴△CGH∽△CDB，

∴，

∴，

∴，，

∴，

由勾股定理得：，

∴四边形DEPH为轴对称图形，
此时CP=CH+HP=；

综上所述，CP的长为：或或或．