Question

10．已知：如图，在?ABCD中，点E在BC边上，连接AE，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．
（1）求证：△AOF≌△EOB；
（2）当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的定义可得AD∥BC，进而可得∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，再由O为AE中点可得AO=EO，然后可利用AAS判定：△AOF≌△EOB；
（2）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后再证明AB=AF可得四边形ABEF是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，
∵O为AE中点，
∴AO=EO，
在△AOF和△EOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠BEO}\\{∠AFO=∠EBO}\\{AO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EOB（AAS）；

（2）解：四边形ABEF是菱形；
∵△AOF≌△EOB，
∴AF=BE，
∵AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AE平分∠BAD，
∴∠ABF=∠EBF，
∵∠AFO=∠EBO，
∴∠ABO=∠AFO，
∴AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行，一组邻边相等的平行四边形是菱形．