Question

2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于点O．OH⊥BC于点H，连接OB．
（1）求证：∠BOD=∠COH；
（2）若∠B=60°，AE=$\frac{14}{3}$，CD=$\frac{7}{3}$，BO=2$\sqrt{3}$，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）先判断点O为△ABC的内心，则利用内心性质得∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，再由三角形外角性质和三角形内角和定理可得∠BOD=90°-∠1，接着由OH⊥BC得到∠COH=90°-∠1，所以∠BOD=∠COH；
（2）作OQ⊥AC于Q，在AC上截取AG=AE=$\frac{14}{3}$，连结OG，如图，先在Rt△BOH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，再利用角平分线性质得OQ=OH=$\sqrt{3}$，接着证明△AEO≌△AGO得到△AOE=∠AOG=60°，所以∠COG=60°，然后证明△COG≌△COD得到CG=CD=$\frac{7}{3}$，所以AC=AG+CG=7，最后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：∵∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于点O，
∴点O为△ABC的内心，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BOD=∠2+∠3
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）
=90°-∠1，
∵OH⊥BC，
∴∠COH=90°-∠1，
∴∠BOD=∠COH；
（2）解：作OQ⊥AC于Q，在AC上截取AG=AE=$\frac{14}{3}$，连结OG，如图，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵OC平分∠ACB，
∴OQ=OH=$\sqrt{3}$，
∵点O为△ABC的内心，
∴∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=120°，
∴∠AOE=60°，∠COD=60°，
在△AOE和△AOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠OAE=∠OAG}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AGO，
∴△AOE=∠AOG=60°，
∴∠COG=60°
在△COG和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COG=∠COD}\\{OC=OC}\\{∠OCG=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△COG≌△COD，
∴CG=CD=$\frac{7}{3}$，
∴AC=AG+CG=$\frac{14}{3}$+$\frac{7}{3}$=7，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC•OQ=$\frac{1}{2}$×7×$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．