Question

【题目】△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，△ADE为等腰直角三角形，AD=AE，点D在直线BC上，连接CE．

（1）判断：①CE、CD、BC之间的数量关系；②CE与BC所在直线之间的位置关系，并说明理由；

（2）若D在CB延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请直接写出结论，若不成立，请说明理由；

（3）若D在BC延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请直接写出结论，若不成立，请写出你发现的结论，并计算：当CE=10cm，CD=2cm时，BC的长．

Answer 1

【答案】（1）①BC=CE+CD；②BC⊥CE，理由见解析；（2）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，结论：CD=CE+BC，理由见解析；（3）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，结论：CE=BC+CD， BC=8cm．

【解析】

（1）证明△DAB≌△EAC，即可得到BD=CE，∠B=∠ACE=45°，所以就有BC=BD+CD=CE+CD；又因∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，得到BC⊥CF

（2）同样先证明出△DAB≌△EAC，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，有CD=BD+BC =CE+BC；又因∠ABD=∠ACE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，得到∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-450=90°，即BC⊥CE；

（3）同样先证△DAB≌△EAC，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，有CE=BD=BC+CD，

又因CE=BC+CD，所以BC=CE-CD=10-2=8（cm）．

（1）①BC=CE+CD；②BC⊥CE，

理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB=ACAD=AE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△DAB与△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CE+CD，

∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴BC⊥CF；

（2）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，结论：CD=CE+BC，

理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB=ACAD=AE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，

∴∠BAD=∠CAE，

在△DAB与△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵DC=BD+BC，

∴CD=CE+BC，

∵∠ABD=∠ACE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-450=90°，

∴BC⊥CE；

（3）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，结论：CE=BC+CD，

同（1）可以得到△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∴CE=BD=BC+CD，

∵CE=BC+CD，

∴BC=CE-CD=10-2=8（cm）．