Question

【题目】（1）如图1，已知△ABC中AB=AC，∠BAC=36°，BD是角平分线，求证：点D是线段AC的黄金分割点；

（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，求MN的长；

（3）设⊙O的半径为r，直接写出它的内接正十边形的长=_________________（用r的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质可得，再通过证明可得，即，即可证明点D是线段AC的黄金分割点；

（2）根据正五边形的性质求得，，根据相似比，即可求出MN的长；

（3）设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，作∠OAB的角平分线交OB于C，通过证明得出比例式，即可求出答案．

（1）∵AB=AC，∠BAC=36°

∴

∵BD是的角平分线

∴

∴

∴

∴

∴，

∴

∴

∴

∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵

∴

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴

∴

解得或（舍去）

故MN的长为．

（3）设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，作∠OAB的角平分线交OB于C

则，，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

解得或（舍去）

经检验当时，，所以根成立

故．