[题目]在平面直角坐标系中.点A的坐标为.点B的坐标为.且.．给出如下定义:若平面上存在一点P.使是以线段为斜边的直角三角形.则称点P为点A.点B的“直角点． (1)已知点A的坐标为．①若点B的坐标为.在点.和中.是点A.点B的“直角点的是 ,②点B在x轴的正半轴上.且.当直线上存在点A.点B的“直角点时.求b的取值范围,(2)的半径为r.点为点.点的“直角点 .若使得与有交点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且，．给出如下定义：若平面上存在一点P，使是以线段为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．

（1）已知点A的坐标为．

①若点B的坐标为，在点、和中，是点A、点B的“直角点”的是_________；

②点B在x轴的正半轴上，且，当直线上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；

（2）的半径为r，点为点、点的“直角点”，若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围．

【答案】（1）①，；②；（2）

【解析】

（1）①利用两点间的距离公式分别求得各线段平方的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可；

②首先判断点A、B的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的上，分类求得直线与相切时，的值，即可求解；

（2）根据“直角点”的定义求得点F的坐标，根据点E、F与的位置关系，利用勾股定理即可求解．

（1）① ∵，

，，

∵，

∴，不是点A、点B的“直角点”；

，，

∵，

∴，是点A、点B的“直角点”；

，，

∵，

∴，是点A、点B的“直角点”；

故答案为：，；

②∵，

∴线段的中点，

∴点A、B的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的上，

∴当直线与相切于点D，与两坐标轴相交于点M、N时，如图：

令，则，令，则，

∴，

∴∠OMN=45，CD=，

∴，

∴；

当直线与相切于点E时，如图：

同理：，

∴，

即；

综上所述：；

（2）根据“直角点”的定义知：点F的坐标为(，2)，

∵，

，，

∵，

∴，

解得：，

∴点F的坐标为(，2)，

∴，

，

∴若使得与有交点，直接写出半径r的取值范围为：；

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